1. Dasar: Limit dan Pendekatan Secara Berurutan
Kita beralih dari abstraksi teoretis tentang limit ke kenyataan komputasi bahwa prosesor tidak dapat mendekati nol; ia hanya dapat mendekati epsilon mesin.
Fungsi $f$ yang didefinisikan pada himpunan $X$ memiliki limit $L$ di titik $x_0$, ditulis $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, jika diberikan sembarang bilangan real $\varepsilon > 0$, terdapat $\delta > 0$ sehingga $|f(x) - L| < \varepsilon$, selama $x \in X$ dan $0 < |x - x_0| < \delta$.
Barisan $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ memiliki limit $x$ jika, untuk setiap $\epsilon > 0$, terdapat bilangan bulat positif $N(\epsilon)$ sedemikian sehingga $|x_n - x| < \epsilon$ selama $n > N(\epsilon)$. Ini membenarkan algoritma algoritma iteratif.
2. Kekontinuan dan Diferensial: Persyaratan Keamanan
Dalam perangkat lunak numerik, Kekontinuan (Definisi 1.2) dan Diferensial (Definisi 1.5) bukan hanya sifat akademik; mereka merupakan "persyaratan keamanan" bagi stabilitas numerik. Teorema 1.6 membuktikan bahwa jika suatu fungsi diferensial di titik $x_0$, maka fungsi tersebut kontinu di $x_0$, memastikan bahwa kesalahan pengukuran kecil tidak menghasilkan loncatan keluaran yang mengerikan.